Piramidetasje met ideale maten?

Hebt u dat ook wel eens? Een hype in blogland ... daar gaan we voor! Maar dan toch een kleine teleurstelling: die piramidetas is ... geen perfecte piramide. Bij een kleine versie valt het niet zo hard op, maar bij grotere versies wel. Hebt u dat ook gemerkt? Of valt u -anders dan ik- niet zo over details?

Op foto valt het niet op,
maar de piramide zijn top
staat niet perfect boven
het midden van de bodem
(en als het (bijna) rijmt, is het waar)

Vanuit deze vaststelling heb ik het onderdeel 'rekenen en redeneren' van mijn verstand op volle toeren laten draaien. Eerst ploos ik de (overigens zeer mooie) handleiding van het piramidetasje uit. Een schets op papier bracht de oplossing: een vierkante basisvorm kan onmogelijk een perfecte piramide opleveren*. Wat rekenen, een excelleke en wat knopen doorhakken later kwam ik tot de ideale maten voor een piramidetasje.

Ik twijfelde wat ik met deze informatie aan moest. Een mailtje naar een dame -die van haar winterblogrust geniet- overtuigde me: zet het gewoon op het net en hopelijk willen een aantal mensen experimenteren met deze afmetingen.

rechthoek zonder naad: 9,5 x 11 - met naad: 11,5 x 13    (3)
rechthoek zonder naad: 13 x 15 - met naad: 15 x 17        (1)
rechthoek zonder naad: 16,5 x 19 - met naad: 18,5 x 21  (5)
rechthoek zonder naad: 22,5 x 26 - met naad: 24,5 x 28  (2)
rechthoek zonder naad: 26 x 30 - met naad: 28 x 32        (2)
rechthoek zonder naad: 32 x 37 - met naad: 34 x 39        (4)

(voor de perfecionista's: het nummertje achteraan wijst op de mate van de afwijking, met 1 voor de kleinste afwijking)
Belangrijk om te vermelden is dat je de rits tussen de smalste zijde van de rechthoeken inzet. Anders wordt het een piramidetasje uit Pisa.



* En dan zijn er misschien, heel misschien, mensen in blogland die willen weten hoe ik dit gevonden heb. Of misschien twijfelen aan het deel van mijn hersenen dat redeneert en rekent? Wie er ook zin in heeft, ik schrijf -op vraag- de hele redenering uit. Hou je vast, ik neem u even mee in de wondere wereld van de ruimtemeetkunde.

We starten meteen een zeer wiskundig aandoende tekening van een tetraeder (of de koosnaam van het piramidetasje in wiskundeland).
Hé, niet meteen weglopen he.

Welke vorm heeft elk zijvlak (kijk gerust ook naar uw prachtige piramidetasje)? Inderdaad, een driehoek, vier in totaal. Eén op de bodem en drie rechtopstaande.
Beeld je nu eens in dat de top (ofwel puntje D) naar boven getrokken wordt ... of naar beneden geduwd wordt ... of zelfs opzij. Geen mooi symmetrische figuur, meer, he?

En om de figuur zo symmetrisch mogelijk te maken, moeten we vertrekken van de meest regelmatige driehoeken. Driehoeken die je van alle kanten kunt bekijken: ze zien er altijd hetzelfde uit. Welke zijn dat? (hehe, mijn jufkwaliteiten komen boven) Juist, de gelijkzijdige driehoek.

Op naar de volgende stap. De bekijken opnieuw het piramidetasje. U was misschien wat sceptisch tijdens het maken ervan: hoe kunnen vierkanten nu leiden tot een driehoekig lapje stof? Toen het klaar was, heeft u er waarschijnlijk wat aan gestreken om de vorm wat duidelijker te maken, zo kwamen de driehoeken mooier uit.

Ok, u bent klaar voor de volgende oefening. Beeld je nu in dat je de naden van jouw piramidezakje gewoon weer openmaakt, behalve de rits: die laat je zitten. Dan krijg je dit. De stippellijnen heb jij er net ingeschestreken.
Laat het even tot u doordringen (of neem het van mij aan).

Wat zien we: drie mooi gelijkzijdige driehoeken, waarvan twee op hun kop. De twee delen van de bodem vormen samen de vierde gelijkzijdige driehoek.

Ik kies één driehoek uit: het voorvlak. Dit moet een gelijkzijdige driehoek zijn, dat was onze conclusie eerder.
De zijdes van een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie even lang, herinnert u zich dat nog?

U ziet hoe de onderste zijde mooi in twee wordt verdeeld door de rits (= oranje lijn). Omdat we niet graag met kommagetallen of breuken rekenen, kiezen we 2 cm voor de lengte van de drie zijdes.

Ziet u hoe de rits de driehoek verdeelt in twee identieke rechthoekige driehoeken? Ik teken hieronder zo één.
Denk jij intussen maar al eens na welke bekende stelling geldt in elke rechthoekige driehoek. :o)

Zo, het einde is in zicht.
In een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras. A² + B² = C², weet u nog? A en B zijn de zijden die samen de rechte hoek vormen (ook wel berucht als de rechthoekszijden). C is de schuine zijde. Je moet dus het kwadraat nemen van de lengte van elke zijde en dan op een juiste manier samenvoegen.

De lengte van de zijde die we niet kennen (de rits in oranje), noteer ik als ??.

We bekomen dus 1² + ??² = 2² ofwel 1 + ??² = 4. U ziet ook dat ??² = 3 om de som te doen kloppen, hé?
Zo komen we ertoe dat ?? = de hoogte van onze driehoek = de zijde waar de rits in komt = de vierkantswortel van 3. Dat is bij benadering 1,73 cm.

Ons lapje waaruit we vertrokken zijn zal dus 2 cm x 1,73 cm zijn - of in verhouding groter natuurlijk.
Dit zorgt telkens voor een kommagetal... Ik rondde de verschillende mogelijkheden af naar halve centimeters en zocht de maten met de kleinste afronding.

Wie nog mee las tot hier, ik dank u voor uw moed (het doet mijn juffenhart plezier als je onderaan even zou juichen dat je het einde haalde). Zo ziet u hoe een simpel piramidetasje ons via  ruimtemeetkunde en driehoeken naar Pythagoras leidt. En ik weet dat u dit ooit kreeg op school, mij maak je niets wijs. Maar ik weet ook dat het misschien niet uw meest favoriete bezigheid was toen. :o) 

 

(reken)groetjes,

Nele